1) Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

\( \lim_{x \to +\infty} x e^{-8 x^{2}+1} \) 

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribimos como un cociente:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{-(-8x^2+1)}} $

Ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{-(-8x^2+1)} \cdot 16x} = 0 $

Ahora, probá de calcular vos el límite a $-\infty$ y vas a ver que ocurre exactamente lo mismo (los cálculos quedan iguales y el límite también da $0$) Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$. 

3) Calculamos $f'(x)$:

\( f'(x) = e^{-8 x^{2}+1} + x \cdot e^{-8 x^{2}+1} \cdot (-16x) \) 

Reacomodamos un poco:

\( f'(x) = e^{-8 x^{2}+1} - 16x^{2} e^{-8 x^{2}+1} \) \( f'(x) = e^{-8 x^{2}+1}(1 - 16x^{2}) \)  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$e^{-8 x^{2}+1}(1 - 16x^{2}) = 0$

Como la exponencial nunca es cero, los puntos críticos salen de plantear

$1 - 16x^{2} = 0$

y las soluciones de esta ecuación son $x = -\frac{1}{4}$ y $x= \frac{1}{4}$

  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $(-\infty, -\frac{1}{4})$

b) $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$

c) $(\frac{1}{4}, +\infty)$

6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $(-\infty, -\frac{1}{4})$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. b) Para  $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. c) Para $(\frac{1}{4}, +\infty)$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. Cuando vos hagas el gráfico no te olvides también de ver cuál es la coordenada en $y$ de los máximos y mínimos reemplazándolos en $f$. Yo te dejo acá como me quedó el gráfico en GeoGebra y de paso ya te marco también donde está $y = 9/20$

Geniaaaal, efectivamente vemos que se cumple que $x e^{-8 x^{2}+1}<\frac{9}{20}$ si $x>0$, como nos pedía el enunciado :)